(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
f1(a, x) → g1(x, x)
f1(x, a) → g2(x, x)
f2(a, x) → g1(x, x)
f2(x, a) → g2(x, x)
g1(a, x) → h1(x)
g1(x, a) → h2(x)
g2(a, x) → h1(x)
g2(x, a) → h2(x)
h1(a) → i
h2(a) → i
e1(h1(w), h2(w), x, y, z, w) → e2(x, x, y, z, z, w)
e1(x1, x1, x, y, z, a) → e5(x1, x, y, z)
e2(f1(w, w), x, y, z, f2(w, w), w) → e3(x, y, x, y, y, z, y, z, x, y, z, w)
e2(x, x, y, z, z, a) → e6(x, y, z)
e2(i, x, y, z, i, a) → e6(x, y, z)
e3(x1, x1, x2, x2, x3, x3, x4, x4, x, y, z, w) → e4(x1, x1, x2, x2, x3, x3, x4, x4, x, y, z, w)
e3(x, y, x, y, y, z, y, z, x, y, z, a) → e6(x, y, z)
e4(g1(w, w), x1, g2(w, w), x1, g1(w, w), x1, g2(w, w), x1, x, y, z, w) → e1(x1, x1, x, y, z, w)
e4(i, x1, i, x1, i, x1, i, x1, x, y, z, a) → e5(x1, x, y, z)
e4(x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, a) → e6(x, x, x)
e5(i, x, y, z) → e6(x, y, z)
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) CpxTrsToCdtProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Converted CpxTRS to CDT
(2) Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:
f1(a, z0) → g1(z0, z0)
f1(z0, a) → g2(z0, z0)
f2(a, z0) → g1(z0, z0)
f2(z0, a) → g2(z0, z0)
g1(a, z0) → h1(z0)
g1(z0, a) → h2(z0)
g2(a, z0) → h1(z0)
g2(z0, a) → h2(z0)
h1(a) → i
h2(a) → i
e1(h1(z0), h2(z0), z1, z2, z3, z0) → e2(z1, z1, z2, z3, z3, z0)
e1(z0, z0, z1, z2, z3, a) → e5(z0, z1, z2, z3)
e2(f1(z0, z0), z1, z2, z3, f2(z0, z0), z0) → e3(z1, z2, z1, z2, z2, z3, z2, z3, z1, z2, z3, z0)
e2(z0, z0, z1, z2, z2, a) → e6(z0, z1, z2)
e2(i, z0, z1, z2, i, a) → e6(z0, z1, z2)
e3(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7) → e4(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7)
e3(z0, z1, z0, z1, z1, z2, z1, z2, z0, z1, z2, a) → e6(z0, z1, z2)
e4(g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, z2, z3, z4, z0) → e1(z1, z1, z2, z3, z4, z0)
e4(i, z0, i, z0, i, z0, i, z0, z1, z2, z3, a) → e5(z0, z1, z2, z3)
e4(z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, a) → e6(z0, z0, z0)
e5(i, z0, z1, z2) → e6(z0, z1, z2)
Tuples:
F1(a, z0) → c(G1(z0, z0))
F1(z0, a) → c1(G2(z0, z0))
F2(a, z0) → c2(G1(z0, z0))
F2(z0, a) → c3(G2(z0, z0))
G1(a, z0) → c4(H1(z0))
G1(z0, a) → c5(H2(z0))
G2(a, z0) → c6(H1(z0))
G2(z0, a) → c7(H2(z0))
E1(h1(z0), h2(z0), z1, z2, z3, z0) → c10(E2(z1, z1, z2, z3, z3, z0))
E1(z0, z0, z1, z2, z3, a) → c11(E5(z0, z1, z2, z3))
E2(f1(z0, z0), z1, z2, z3, f2(z0, z0), z0) → c12(E3(z1, z2, z1, z2, z2, z3, z2, z3, z1, z2, z3, z0))
E3(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7) → c15(E4(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7))
E4(g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, z2, z3, z4, z0) → c17(E1(z1, z1, z2, z3, z4, z0))
E4(i, z0, i, z0, i, z0, i, z0, z1, z2, z3, a) → c18(E5(z0, z1, z2, z3))
S tuples:
F1(a, z0) → c(G1(z0, z0))
F1(z0, a) → c1(G2(z0, z0))
F2(a, z0) → c2(G1(z0, z0))
F2(z0, a) → c3(G2(z0, z0))
G1(a, z0) → c4(H1(z0))
G1(z0, a) → c5(H2(z0))
G2(a, z0) → c6(H1(z0))
G2(z0, a) → c7(H2(z0))
E1(h1(z0), h2(z0), z1, z2, z3, z0) → c10(E2(z1, z1, z2, z3, z3, z0))
E1(z0, z0, z1, z2, z3, a) → c11(E5(z0, z1, z2, z3))
E2(f1(z0, z0), z1, z2, z3, f2(z0, z0), z0) → c12(E3(z1, z2, z1, z2, z2, z3, z2, z3, z1, z2, z3, z0))
E3(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7) → c15(E4(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7))
E4(g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, z2, z3, z4, z0) → c17(E1(z1, z1, z2, z3, z4, z0))
E4(i, z0, i, z0, i, z0, i, z0, z1, z2, z3, a) → c18(E5(z0, z1, z2, z3))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:
f1, f2, g1, g2, h1, h2, e1, e2, e3, e4, e5
Defined Pair Symbols:
F1, F2, G1, G2, E1, E2, E3, E4
Compound Symbols:
c, c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c10, c11, c12, c15, c17, c18
(3) CdtUnreachableProof (EQUIVALENT transformation)
The following tuples could be removed as they are not reachable from basic start terms:
E1(h1(z0), h2(z0), z1, z2, z3, z0) → c10(E2(z1, z1, z2, z3, z3, z0))
E2(f1(z0, z0), z1, z2, z3, f2(z0, z0), z0) → c12(E3(z1, z2, z1, z2, z2, z3, z2, z3, z1, z2, z3, z0))
E4(g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, z2, z3, z4, z0) → c17(E1(z1, z1, z2, z3, z4, z0))
(4) Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:
f1(a, z0) → g1(z0, z0)
f1(z0, a) → g2(z0, z0)
f2(a, z0) → g1(z0, z0)
f2(z0, a) → g2(z0, z0)
g1(a, z0) → h1(z0)
g1(z0, a) → h2(z0)
g2(a, z0) → h1(z0)
g2(z0, a) → h2(z0)
h1(a) → i
h2(a) → i
e1(h1(z0), h2(z0), z1, z2, z3, z0) → e2(z1, z1, z2, z3, z3, z0)
e1(z0, z0, z1, z2, z3, a) → e5(z0, z1, z2, z3)
e2(f1(z0, z0), z1, z2, z3, f2(z0, z0), z0) → e3(z1, z2, z1, z2, z2, z3, z2, z3, z1, z2, z3, z0)
e2(z0, z0, z1, z2, z2, a) → e6(z0, z1, z2)
e2(i, z0, z1, z2, i, a) → e6(z0, z1, z2)
e3(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7) → e4(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7)
e3(z0, z1, z0, z1, z1, z2, z1, z2, z0, z1, z2, a) → e6(z0, z1, z2)
e4(g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, z2, z3, z4, z0) → e1(z1, z1, z2, z3, z4, z0)
e4(i, z0, i, z0, i, z0, i, z0, z1, z2, z3, a) → e5(z0, z1, z2, z3)
e4(z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, a) → e6(z0, z0, z0)
e5(i, z0, z1, z2) → e6(z0, z1, z2)
Tuples:
F1(a, z0) → c(G1(z0, z0))
F1(z0, a) → c1(G2(z0, z0))
F2(a, z0) → c2(G1(z0, z0))
F2(z0, a) → c3(G2(z0, z0))
G1(a, z0) → c4(H1(z0))
G1(z0, a) → c5(H2(z0))
G2(a, z0) → c6(H1(z0))
G2(z0, a) → c7(H2(z0))
E1(z0, z0, z1, z2, z3, a) → c11(E5(z0, z1, z2, z3))
E3(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7) → c15(E4(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7))
E4(i, z0, i, z0, i, z0, i, z0, z1, z2, z3, a) → c18(E5(z0, z1, z2, z3))
S tuples:
F1(a, z0) → c(G1(z0, z0))
F1(z0, a) → c1(G2(z0, z0))
F2(a, z0) → c2(G1(z0, z0))
F2(z0, a) → c3(G2(z0, z0))
G1(a, z0) → c4(H1(z0))
G1(z0, a) → c5(H2(z0))
G2(a, z0) → c6(H1(z0))
G2(z0, a) → c7(H2(z0))
E1(z0, z0, z1, z2, z3, a) → c11(E5(z0, z1, z2, z3))
E3(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7) → c15(E4(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7))
E4(i, z0, i, z0, i, z0, i, z0, z1, z2, z3, a) → c18(E5(z0, z1, z2, z3))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:
f1, f2, g1, g2, h1, h2, e1, e2, e3, e4, e5
Defined Pair Symbols:
F1, F2, G1, G2, E1, E3, E4
Compound Symbols:
c, c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c11, c15, c18
(5) CdtGraphRemoveDanglingProof (ComplexityIfPolyImplication transformation)
Removed 11 of 11 dangling nodes:
F1(a, z0) → c(G1(z0, z0))
F1(z0, a) → c1(G2(z0, z0))
F2(a, z0) → c2(G1(z0, z0))
F2(z0, a) → c3(G2(z0, z0))
G1(a, z0) → c4(H1(z0))
G1(z0, a) → c5(H2(z0))
G2(a, z0) → c6(H1(z0))
G2(z0, a) → c7(H2(z0))
E1(z0, z0, z1, z2, z3, a) → c11(E5(z0, z1, z2, z3))
E3(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7) → c15(E4(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7))
E4(i, z0, i, z0, i, z0, i, z0, z1, z2, z3, a) → c18(E5(z0, z1, z2, z3))
(6) Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem
Rules:
f1(a, z0) → g1(z0, z0)
f1(z0, a) → g2(z0, z0)
f2(a, z0) → g1(z0, z0)
f2(z0, a) → g2(z0, z0)
g1(a, z0) → h1(z0)
g1(z0, a) → h2(z0)
g2(a, z0) → h1(z0)
g2(z0, a) → h2(z0)
h1(a) → i
h2(a) → i
e1(h1(z0), h2(z0), z1, z2, z3, z0) → e2(z1, z1, z2, z3, z3, z0)
e1(z0, z0, z1, z2, z3, a) → e5(z0, z1, z2, z3)
e2(f1(z0, z0), z1, z2, z3, f2(z0, z0), z0) → e3(z1, z2, z1, z2, z2, z3, z2, z3, z1, z2, z3, z0)
e2(z0, z0, z1, z2, z2, a) → e6(z0, z1, z2)
e2(i, z0, z1, z2, i, a) → e6(z0, z1, z2)
e3(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7) → e4(z0, z0, z1, z1, z2, z2, z3, z3, z4, z5, z6, z7)
e3(z0, z1, z0, z1, z1, z2, z1, z2, z0, z1, z2, a) → e6(z0, z1, z2)
e4(g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, g1(z0, z0), z1, g2(z0, z0), z1, z2, z3, z4, z0) → e1(z1, z1, z2, z3, z4, z0)
e4(i, z0, i, z0, i, z0, i, z0, z1, z2, z3, a) → e5(z0, z1, z2, z3)
e4(z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, z0, a) → e6(z0, z0, z0)
e5(i, z0, z1, z2) → e6(z0, z1, z2)
Tuples:none
S tuples:none
K tuples:none
Defined Rule Symbols:
f1, f2, g1, g2, h1, h2, e1, e2, e3, e4, e5
Defined Pair Symbols:none
Compound Symbols:none
(7) SIsEmptyProof (EQUIVALENT transformation)
The set S is empty
(8) BOUNDS(O(1), O(1))